干国祥

下午第三节，4：05，小圆厅，听陈涛老师的三年级数学，课题是《三位数除一位数（被除数首位不够除）》。

去得不迟，不过前面的好位置，也大半被老师们占去了。于是找个稍后的位置，侧向，面向学生而坐。我跟前的男生叫张中秋，他在这堂课上被老师叫了两次，都回答正确了。

课从口算开始，其中有两位数除一位数，被除数首位不够除的。

新知识的教学从一个情景题入手，我看不清黑板上的题，大意是两个学生走路速度的比较，其中一个五分钟走了425米，另一个也同样是一个“三位数除一位数（被除数首位不够除）”的情景题。问，他们谁走得快？

从估算来看，两位差不多，于是就只能用竖式笔算。

老师带着大家示范做第一题，边做边强调过去的算法规则及书写规范。尤其强调这课的知识点，如：商中的8为什么不写在百位上？

然后学生独立完成第二题。全班的学生都做对了。

老师又让大家与昨天的知识作比较，强调今天的知识点。

然后独立做“想想做做”第一题，共有四小题。全班无错。

这时，课过去不到20分钟。

然后是前后位互批昨天的四道预习题，并且自行对同学作业时行评估。

然后老师要求没有得优的同学站起来说说失分的原因。反馈的结果是只有两处属于计算疏漏，没有学生在这个知识点上失分——也就是说，在进课堂之前，学生已经基本掌握了知识。

接下来，老师用小黑板出示四道题，让大家比一比，哪个小朋友的作业可以得“优☆”。结果四题中有三题分别出现书写不规范，漏数等错误，只有第二题的小明才得到了“优☆”。这道题显然意义极大，这既是知识的教学，同时也是对学生如何进行相互评估进行指导。

在此过程中，学生始终注意力集中。

然后仍然是前后位，相互说说“试商”结果。我观察张中秋与后面一位同学的试商，基本正确，而且老师只要求出说出几位数，他们还在此基础上说出了大概的数是几。

至此，课堂过去将近30分钟。

后面是练习四，知道三边形、四边形和六边形的周长相等，都是一个确切的百位上为4的三位数，分别求出边长。

老师先让学生说说该怎么做，明确后，然后学生单独练习。全部正确。

然后，老师引入了一道奥数题：

       □ 5

4  ｜2 □ □

    □ □    

       □ □

       □ □ 

          2

这道题显然有相当的难度，但学生在思考。

有个女生说出了应该先得出余数2上面的两个数，即四五得二十。然后慢慢就做出了整道题。

可惜，这个过程有些仓促，许多学生事实上只是获得了最后的结果。

最后，老师请同学说说，这堂课得到了什么。下课铃还未响，就让大家打开《补充练习》，从练习一开始做下去，我发现快的学生马上完成了十来题。

这时候，小黑板上又挂起了一道比刚才更难的奥数题。

晚上，在陈金铭与王兆正的主持下，大家对陈涛老师的课进行了极富意义的评议——严格地说，不是对此课进行评议，而是对由此课引发的问题，进行了激烈的评议。

这些问题主要有：

一、数学要不要预习？

反对预习的老师，总括说来理由有三，一是预习会失去对知识的新鲜感，二是事实上家长会干预预习，把错误的算理与算法教给孩子，三是预习反而导致了一种假象，学生并不真正懂得与掌握知识，但因为预习时家长或其他因素的参与，他浅尝辄止，便以为自己已经懂得与掌握了。有老师甚至干脆宣布，数学不能预习。

支持预习的老师认为，以上反对理由可能是对预习的目的有误解，即预习的本来目的是为了让孩子逐渐地养成独立学习的能力与习惯，而不是让课上得更顺利或漂亮一些。学生在家长等干预后，将自学性质的预习，变相为提前学习，这可以通过向家长阐明道理并作出明确规定来杜绝。而预习的最大价值，与其说是学生已经提前学会了，倒不如说是学生产生了自己的困惑，不同程度的困惑，而这些困惑，正可以是课堂的新的起点。

当然，问题并没这么简单，事实上这个问题非常复杂。而另一方面，使得我们不敢尝试的真正原因之一是习惯。因此，路其实还很长。最终我们没有对此问题作出“判决”，形成临时性共识，我们认为，这样更利于每天持久进行的观课议课中，持久地关注此问题，理解此问题，达到更高的刻度再来理解这个关键问题，也许才是最佳的判决。

二、数学课上要不要引入课外的奥数内容？

这个问题主要有两个方面的纠缠。一个方面的不同意见是反对者担心：引入奥数会不会对考试必考的基础知识构成威胁？当然，赞同引入的老师，一是基于课堂上基础知识方面近100%的正确率，二是认为超越性知识的练习，本来也是对基础知识的运用，如果把握好分寸，二者不应该矛盾。就陈涛老师此课而言，由于陈老师精心选择了与知识点完全相符的奥数题，所以关联性更明确。我甚至认为，若基础知识比较容易的情况下，另外剩个十来分钟讲到学生提前预热过的奥数，也未尝不可。

另一个方面，就是奥数题本身如何处理的问题——如果处理得得当，学生有收获，自然大家赞同率就高，反之，若看不到效果，那么无论从理论上论证它会有多少好处，也是得不到认可的。

就陈涛老师此课带来的探索而言，引入在知识上相关联，这是一大亮点。但可惜的是，一面是近100%的正确率，另一面却是事实上是由一个尖子生提议后，老师用讲解完成了这道题。

大家认为，如果能够用更多时间，最好是由较充分的独立思考加小组讨论的时间，来完成这道题，并对做出这道题的个人和小组给予“重奖”（当然是精神性的），那么效果自然会好得多。

但是时间从哪里来？

虽然是近100%的正确率，以及面对此题时大部分学生挑战的兴奋（这是这堂课上最为突出的一处），以及少部分学生游离课堂的表现（这也是此课几乎惟一的一处），大多数数学老师还是坚持认为，要谨慎。

这种谨慎，与那种大胆的探索，都是有价值的。而真理——或者说临时性共识，存在于下次或者更的对话中。

三、数学计算课上，算理与算法并重在认识上肯定被大家一致认可，但究竟如何进行算理的有效教学？

王兆正老师认为，此课算法教学非常成功，但算理教学上，似乎有所不足。事实上，陈涛老师在课堂上也多次让学生“讲出算理”，而且从计算这种默会知识为主的技能而言，基本理解的基础上能够熟练运算，是不是也算是掌握了“算理”呢？

这个问题，也并没有达成共识。

而对陈涛老师的这堂课，大家反倒讨论讨论的并不太多，这一来是因为此课扎实有效，二来也是因为此课完全按照新教育教学框架进行教学，正利于借此课进行教学框架本身的反思。

陈老师此课的最大优点是个体学生的训练量与及时的反馈评估，这也是新教育教学框架的核心结构之一。依据我的统计，个体学生在此课上共练习达二十至三十题（不包括口算），其中近二十题是与课题知识点完全吻合的题。这些题目都在课堂上获得了及时的反馈，对错误进行了反思与修正。这样的训练意识，即使是在数学练习课上，也并不常见。而再看课堂上学生的表现，精神状态很好，注意力也很集中，这也能从一个侧面说明这些训练是较为适宜的——虽然我们在分析时，有人提出近100%的正确率，这背后有许多值得深入思考的东西。

无论如何，此课意义巨大：个体训练量；及时全面的反馈与评估；对学习本身的反思；引入事实上占用了学生大量课外时间的奥数……

无论成败，这都是探究的成功；何况事实上这是一堂极为难得的有效的课。