干国祥

下午第一节，到四（1）班听王长珍老师的数学课，课题是“三位数乘两位数”的练习一第二课时，解决实际问题，即三位数乘两位数的应用。因为河南焦作山阳区教科所李国宏主任前来，我们俩一道前去听课时，上课已经开始。我从后面走到中间的过道中坐下，右边的女生，是韩亦如。

我们坐下时，第一个环节刚刚结束，是对下列题目进行口算：

20×500   　　25×100   　210×4    　　32×30

3×120    　　10×460      40×800    　　40×200　

１3×300   　　200×70   　　60×900    　　100×50

然后，王老师就让同学们打开书本，找出课后练习题中的所有应用题，归类。后来我们分析，归类可能是一个与本科知识重点关系不大，又不太明确，容易浪费时间的事。更干脆的解决之道，或者是直接老师归好类，让学生一类类地练习，或者就不用归类，逐一加以练习。事实上，后面王老师的教学，基本上是逐一加以练习的。

练习3如下：

全世界平均每分钟大约有140名婴儿出生。每小时大约有多少名婴儿出生？

老师在这里插入了准确数与近似数的分别，然后让学生列式并计算，对结果以老师为主导进行了讨论。

在这里，我发现课堂上容易出现“讲”与“练”的矛盾，即当老师或者有学生在“讲题”时，大多数学生因为各种原因（主要是速度不快的原因），往往还在做题。

然后是练习4：

从北京到全国各地的公路干线中，最长的是京拉线（北京到拉萨），最短的是京塘线（北京到塘沽）。京塘线的长度是142千米，京拉线的长度大约是京塘线的27倍。京拉线大约长几千几百千米？

学生自读、列、算，老师随后提醒答题的两种方式，一种是依据题目的特别要求，答作3800千米，另一种是更精确的3843千米，两种都是对的。

然后是练习5：

四年级有150个同学去看杂技表演，票价每人12元，一共要付多少元？如果每张10元呢？

老师引导学生注意这类题的规律，即数量×单价＝总价。

然后，列式计算，提醒是否可用简便方法。有一个男生提议将150×12可看作150×2×6进行计算。

然后是练习10：

花园小学新买来45套单人课桌椅，每张课桌128元，每把椅子52元。一共用了多少元？

学生单独做题，老师讲解，互查。

这时，发现有个男生结果和大家不一样，同桌检查后发现，是计算错了。

而我则发现韩亦如是用两步法来计算的，即没有写成（128＋52）×45＝8100（元），而是一前一后，写成了128＋52＝180（元）和180×45＝8100（元）。

老师提醒还有一种算法，即128×45＋52×45

然后是练习12,本课中挑战最大的一题：

长阳公园的游园票价格如下表：

购票人数          1～50    51～100    100以上

每人票价（元）      25      23         20

西街小学四年级同学去公园春游，一班有48人，二班有49人，三班有52人。

（1）每班分别购票，各需要多少元？

（2）三个班合起来购票，共需要多少元？

王老师还是采取了上面的步步讲为主，讲之后学生列题的方式。不过在最后，她加了一个技巧性的环节，就是故意将第二问答错，即用三个班的得数加起来算作整数，“学生”作为整体，自然是很容易地看出了这一个“伎俩”，指出并改正了这一点。

然后是练习8：

奶牛场养了25头奶牛，每头奶牛每天吃草12千克。照这样计算这些奶牛30天一共吃草多少千克？

再然后是练习九：

菜场运来180筐萝卜和220筐白菜，每筐萝卜40千克。每筐白菜35千克。

（1）运来的萝卜和白菜一共多少千克？

（2）运来的萝卜比白菜少多少千克？

在这里，有相当多的学生犯了一个明显的错误，即第二个问题中，列式为180×40－220×35。王老师提示，为确保不出错，也可以分步算一算。

后来我在议课中认为，此处是本课惟一一点可以在数学知识方法商榷的地方，即这样退回到更低年级的分步计算并非真正合理的解决之道，而可采用“这个问题说明萝卜与白菜谁多谁少”来说明哪个数大，应该放在前面。姜海强老师也同意这一点。

后面是练习11：

林庄有一个长方形花圃，长120米，宽50米；还有一个正方形苗圃，边长80米。花圃与苗圃比，哪一个面积大？大多少平方米？

这是一道图形题，王老师提示学生注意长方形与正方形有面积公式。

最后的几分钟时间里，王老师让同学们打开作业本，完成单元复习二的第一部分，课堂练习。因为前面练习较多，还未完成就下课了。

议课时讨论还是比较激烈的，大家主要就两个方面来思考此课，一是数学知识或数学教学特有的方面，另外就是利用有效教学框架对此课进行改进性反思。

数学方面，值得商榷的就是我刚才提到的分步列式问题，大家马上达成了共识。

另外就是姜海强老师提出第12题，即三个班买票的问题，要作提升，可以让一班班长想想应该怎样买票才比较合理（即买51张票比买49张票钱化得更少）。

开始大家有不同的意见，反对者认为，这样的知识与本课关联不大。不过大家又马上认识到，这样会增强课堂上学生对数学的兴趣，激发思维，而且确实也是数学题，那么为什么不“浪费”一下呢？这会成为课堂上的“灵光一闪”的。

对应不应该对数学题作过多讲解，讨论得时间比较长。很显然，王老师此课在讲题上（无论是学生讲还是教师讲）用的时间不少。王老师的解释是因为重心是在三位数乘两位数上，不在应用题上，所以就用讲代替了。而大家则认为：

一、考试若会出现这样的题，我们就不可能在考场上代替学生“讲解题目”；

二、在没有充分反馈，不知道学生学习情况的前提下，用大量时间讲题目标有些不清，即无法判定是否确实要讲题。即便要讲，练后讲，也比讲了练要更为科学。因为这不是新授课而是练习课。

三、讲题实际上导致了学生听讲与练习的矛盾，有部分学生没有充足的时间完成练习。

这样，事实上我们就已经从数学特有的教学问题，转向了第二方面，即教学框架的问题上来了。

我们认为，王老师此课在训练的总量上是相当充分的，体现了训练课的特点。

当然也有老师认为，个体学生的练习，因为上述原因，事实上还不一定能够说是充分的。

而我们聚焦的关键在于一点：课堂之后，学生会出错吗？谁会出错？错在哪里？这些，我们没有在课堂上发现。

也就是说，练习必须与有效的反馈机制相结合，要准确地获得反馈（譬如采取小组互查的形式），清楚地掌握学生的实际学情。

用我的说法是，我们必须追问：谁隐藏在错误的角落里？谁在犯错？错在哪里？

我认为，数学巩固练习课，重点无外乎两个：全体学生巩固知识以达到自动化的地步（体现为正确率与速度）；个体学生的学习障碍得以发现及清除。而要实现这一点，没有准确、及时、可靠、简便的检测反馈机制是不能够的。

议课结束后，我们感慨：小小的家常巩固练习课里，也有太多值得咀嚼的东西。今天形成一些必要的共识，这首先是因为王老师贡献出了这样一堂朴素真实的数学课。