数学课的知识点确实明晰。
王兆正老师此课的核心教学目标是这样制定的：依据倍数和因数的含义和已有的乘除法的认识，自主探索并总结找一个数的倍数和因数的方法。
短短的一句话，清晰明确的阐述出了本节课着力要学习的任务及程度。
这节课，大体的板块是这样的：
一、重建认知结构，认识倍数和因数。
老师采用了教材中的例题建构：
屏幕上有12个大小完全一样的小正方形，用这12个小正方形能拼成一个大长方形。
引导学生用乘法算式分别表示为：以3×4=12 4×3=12
然后以3×4=12为例，说出谁是谁的因数，谁是谁的倍数？
再选择另外两道乘法算式，自由说说。
说后，老师点题：这就是我们今天要研究的倍数和因数。强调有一个规定：为了方便，在研究倍数和因数时，所说的数一般指不是0的数。
然后，王老师和学生一起练习了35÷5=7这个算式中的倍数和因数。在这里，王老师提议请学生说说转化的理由。后面一个练习，王老师增加了一点难度：
从3、5、18、20、36中选两个数，说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
同样，王老师注意引导学生说说自己想的理由。提示学生要在头脑中隐藏着算式。
到这里，学生的学习几乎没有任何障碍，教学用时12分钟。
二、探索找因数的方法。
下面这个环节是王老师调整了教材的顺序：先教因数，后教倍数。
王老师首先请学生找一找下面的五个数（3、5、18、20、36），哪些是36的因数？
学生在上面五个数中找，不是难点，难在后面王老师这个问题：谁能把36所有的因数一个不少的全部找出来？
王老师很明显意识到了这一点，他告诉学生，能不能想个好方法？他请学生自己或小组讨论，有结果写在练习本上，然后王老师在巡视过程中，请了两名学生到黑板上板演。
我观察我旁边的学生小陶，她最终只写出了（１、2、4、6）这四个数。而台上两位同学一个写对了，另外一个没有写完整。王老师先点评了写对的同学，请这位同学谈谈自己是怎么想的。这个同学是按照从小到大的顺序和一对一对的组合规律来找的。无疑，这是最为准确和省时的。
王老师为了让学生巩固这个认识，又用PPT演示了一下。他还特意请学生来说说哪些地方需要特别注意。有一个学生发言，提出不能遗漏。王老师再次点拨，要想不遗漏，可以列成算式。
接着，王老师用两个练习来继续巩固此认识。一个是找16的所有因数，一个是找25的所有因数。王老师用PPT出示的同时，也用文字提示学生：规则：有顺序，不重复，不遗漏。
我观察到小陶周在写16的因数的时候，只写出了（1、2、16），漏掉了4、8。而在写25的因数的时候，她写的是（1、2、25），错把2写进来，漏掉了5。
但是，时间关系，王老师在这个环节的反馈已经不能全部落实了。所以，了解了大体情况后，老师开始引导学生总结：因数有什么相同之处？
在老师的引导下，学生能说出，都有一个1。最小的是1，最大的是它本身。
这个板块用时13分钟。
三、合理迁移思路，探索找倍数的方法。
找倍数的练习，王老师计划中是用6分钟，实际用时是10分钟。
他先请学生找3的倍限制时间1分钟。时间到了后，他请学生来汇报。你有什么发现？
学生很容易发现，倍数是无穷无尽的。
当然，在这个环节，王老师了解到有两个同学出错后，及时进行了纠正。
然后，王老师总结到：3的倍数写不完，可以用省略号表示。一般情况下，我们规定写5个就可以了，后面再加省略号来表示。
再然后，王老师请学生练习写出2、5的倍数。我观察小陶，她没有再出错。全班也没有出错。
最后，王老师引导大家联系前面学过的因数总结一个数的倍数和因数有什么特点：倍数最小的是它本身，因数最小的是1；倍数最大的没有，因数最大的是它本身；而倍数的个数是无限的，因素的个数是有限的。
四、实际应用。
后面的第一个练习是判断：
（1）7的最小倍数是14。
（2）11是11的因数。
（3）6是倍数。
请学生说说对或错，理由是什么。
第二个练习是处理课堂作业40页的课内检测。完成后可以思考屏幕上老师出的思考题：
王老师的年龄是8的倍数，又是32的因数，王老师今年可能是多少岁？
这个环节用时5分钟。
第三节课，在大会议室，大家议课的主题集中在“找全一个数的所有因数”上。大家普遍感到王老师的教学框架近乎完美，从学生学习的效果来看，学生存在障碍的正是上一点。
我请大家畅所欲言，谈谈自己的改进意见。
尽管在场的只有三位数学老师，其他都是语文老师，但因为大家是从框架着手，从学生学习的效果着手，因此，所谈的都能指向问题的核心。
最后，我把王老师四个环节的用时和学生的学习状态再一次呈现给大家，请大家看看哪些板块是可以去掉的，哪些是可以增加的。
最后，我们基本达成共识：
课始4分钟的数形结合可以去掉。因为学生已经预习过，事实上已经不用数形结合就能够很顺利的理解因数和倍数的概念。因此，整个建构因数和倍数的概念用时12分钟就过多了。
倍数的学习可以从10分钟减到5分钟左右。学生在倍数练习中事实上没有学习障碍，只要落实好倍数和因数学习的总结就可以了。
这样，我们完全可以从学生已有的起点出发，迈向更高的起点。
减掉这几个环节，相应的就可以增加以下两个环节的练习量：
找全一个数的所有因数的练习，时间上应该再分配一下。尽可能多的让学生暴露自己的错误，然后，老师引导梳理错误，形成共识。即，给予学生充分的练习机会和反馈机会。
最后一个猜王老师年龄的题，很有训练价值，可以加上。这是对本课学习的一个综合性的训练，可以借此检测学生真正的掌握程度。
由王老师的课，再一次验证了教学框架存在的必要性。也引发我一点个人的思考，那就是数学课在“紧缩”和“放开”之间要谋求平衡。
数学课上，现在有一个奇怪的现象。
公开课、优质课展示的时候，呈现出来的状态是一种“放开式”的：让学生积极经历知识的探究过程，充分发挥个体重新建构知识的重要作用。表现在课堂上，“问题指向”是向外扩散的，学生有较为充裕的空间和时间进行自主探索。这样的课堂往往学生的思维得到积极挑战，因为问题指向是向外的，所以思维的长度和深度都能得到发展。外显形式是课堂的气氛比较活跃。
家常课上，老师们往往不是用这种“放开式”的方式，而是一种“紧缩式”的方式。表现在课堂上，“问题指向”是向里收缩的，学生没有较为充裕的自主探索的时间，对知识的建构是一步步在老师的引导、控制下达到的。这样的课堂往往学生的思维没有得到充分的拓展，很难达到一定的深度和广度。外显形式是课堂的气氛比较严谨。
毫无疑问，专家大多支持第一种课堂。因为这种课堂确实是符合学习的规律的。
但是，我们现在要反思的是，为什么符合理念的课堂在实践中老师们却不太采用？
明显的，不是老师们不知道那样的课堂是好的。
问题是，老师们要面对应试。
只要有应试，有评比，老师们就会追求班级分数的最大化。
而保证分数最大化的课堂，“紧缩式”的课堂无疑是大多数老师的最佳选择。原因很简单，“紧缩式”的课堂能让全班绝大多数学生在教材的每个知识点上得到最紧密的训练，尽管这种训练会使学生丧失思维的广度和深度。
这样说，并不是为这种“紧缩式”的课堂辩护。即，存在的不见得是合理的。
恰恰相反，我坚决支持“放开式”的课堂。
我坚定的相信，这样的课堂，才能让每个学生都在具体的学科里获得最优的发展。
我坚定的相信，这样的课堂，是我们应该孜孜以求的课堂。
只是，家常课上目前做不到怎么办？
一步做不到，我们就分步做。
比如，在“放开式”和“紧缩式”这两种课堂之间求得一种平衡。
至于“平衡”到什么程度，我会在适当的机会再用案例来另行阐述。
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